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秋天的信差

1.本单元内容在课本及高考中的地位求圆锥曲线的方程(含求轨迹),既是解析几何的重要基本知识,同时又是高考每年必考的重点内容。
其主要内容是椭圆、双曲线、抛物线方程的求法,这一类问题的解决往往要涉及到函数、不等式、方程、三角、直线等有关知识和数形结合思想、函数与方程思想、转换思想的综合应用,因此在高考中常常以圆锥曲线为载体来全面考查学生的综合能力。
2.求圆锥曲线方程的常用方法定义法、待定系数法、直接法、代入法、参数法、几何法等。
关键是形数结合,建立等量关系。
3.对本单元的学习和考试要求能根据所给条件,选择适当坐标系求出曲线方程,并画出方程所表示的曲线。
4.求曲线方程的一般步骤及要点是建系、列式、化简、证明。
第一步骤“建系(建立坐标系)”在实际问题中有两种情况:
(1)所研究的问题中已经有坐标系,此时在给定的坐标系中求出方程即可;
(2)条件中无坐标系,这时必须首先选取适当坐标系,通常总是选取特殊位置的点为原点,相互垂直的直线为坐标轴等。
第二步是最重要的一环,须仔细分析曲线的特征,注意揭示隐含条件,抓住曲线上任意点有关的等量关系、所满足的几何条件,列出方程。
在将几何条件转化为代数方程的过程中,要注意圆锥曲线定义和初中平面几何知识的应用,还会常用到一些基本公式,如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。
第三步,在化简过程中,要注意运算和变形的合理性与准确性,避免“失解”和“增解”。
对于第四步,中学阶段不作要求(从理论上讲则是必要的),多数情况下不会有什么问题,但若遇特殊情况则应该适当予以说明。
例如,根据题意,某些点虽然其坐标满足方程,但却不在所求曲线上,那么可通过限制x、y的取值范围把它删除掉。
5.例题解析例1求经过定点A(2,0),且与定直线x=-2相切的动圆圆心P的轨迹方程。
解如图易知,动点到定点的距离与到定直线的距离相等,根据圆锥曲线的定义可知,动点轨迹是抛物线y2=2px,其中,p=4,所以,所求P点轨迹方程是y2=8x。
例2(1992年全国高考题)焦点为F1(-2,0)和F2(6,0),离心率为2的双曲线的方程是______________解由两焦点知双曲线的中心为(2,0),c=4,c/a=2,a=2,b2=12,∴所求曲线方程是。
例3(1993年全国理科题)动圆与定圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都相外切,则动圆圆心的轨迹方程是()A.抛物线B.圆C.双曲线的一支D.椭圆解由条件设O:
x2+y2=1,r1=1;
M:
(x-2)2+y2=4,r2=2,M(2,0),设动圆圆心为P(x,y),半径为r,则有,,∴,根据双曲线的定义,动圆圆心轨迹是双曲线的一支。
故选C。
例4在双曲线的上支有不同三点A(x1,y1),C(x2,y2),B(,6)到焦点F(0,5)的距离成等差数列,求y1+y2的值。
解∵,∴双曲线的准线为m:y=5/12,作AA1⊥m于A1则,∴,同理:
,∵,∴2,∴y1+y2=12。
说明1〕以上四例都是根据圆锥曲线的定义求解,这是求圆锥曲线方程最重要的解法之一,其中例3和例4分别使用了第一和第二定义,实际上,凡题目中出现“焦半径(焦点与曲线上点的连线)”,就应考虑使用圆锥曲线的定义,若还有“准线”出现,则就一定会用到第二定义。
2〕动圆与定圆相切的问题,要连接两圆心(平面几何常用辅助线),寻找圆心距间的关系,其轨迹往往是抛物线、椭圆或双曲线中的一种,在这一点上例3比较有代表性。
例5与双曲线有相同渐近线,且经过点A(2,-3)的双曲线的方程是______________解设所求双曲线方程是,∵点A在双曲线上,∴∴双曲线方程是:
说明本题考查待定系数法、共渐近线系的双曲线方程的应用。
例6(1997年全国高考题)椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称,椭圆C的方程是()A.B.C.D.分析设所求椭圆C上任一点M(x,y),易知M关于直线x+y=0的对称点在已知椭圆上,可得椭圆C的方程。
解设椭圆C上任一点M(x,y),利用M关于直线x+y=0的对称点为M’(-x,-y),由题意可知,M’是已知椭圆上的点。
∴所求方程为即,故选A。
例7(1990年广东题)一个动点在圆x2+y2=1上移动时,它与定点(3,0)连线中点的轨迹方程是()A(x+3)2+y2=4B(x-3)2+y2=1C(2x-3)2+4y2=1D(x+3/2)2+y2=1/2解如图,设M为圆上任意一点,定点为A(3,0),连AM,设AM中点为N,OA中点为C(3/2,0),则CN=1/2,于是N到C的距离为定长1/2,其轨迹方程为(x-3/2)2+y2=1/4,即(2x-3)2+4y2=1,因此选C。
说明例8例9解法为几何法,即当题目中出现圆、平行四边形等等平面图形时,应充分利用它们的几何性质,寻找所求动点满足的几何条件去建立等量关系,在此题中此法比使用其他方法简便。
例8已知定点A(3,0),P是单位圆x2+y2=上的动点,∠AOP的平分线交PA于M,求M点的轨迹方程。
解如图,设M、P的坐标分别是(x,y)及(x。
,y。)由三角形角平分线的性质得。
,即∴x=xo=,y=yo=∵xo2+yo2=1,∴M点的轨迹方程是()2+()2=1,即M:
(x-+y2=说明本题解法为代入法,即利用所求轨迹上的动点坐标x和y表示出已知曲线上的动点坐标xo和yo,再代入已知曲线方程就可得到所求轨迹的方程,这也是求圆锥曲线方程使用率很高的方法。
例9方程ax2+bx+c=0(abc∈R,a≠0)的判别式的值等于1,两根之积为常数k(k≠0),求点(b,c)所表示的曲线方程。
解根据题意有b2-4ac=1,消去a得,b2-4即b2-。
∴点(b,c)所在曲的线方程是x2-。
说明本题解法为参数法。
例10(1993年高考题)在面积为1的⊿PMN中,tg∠PMN=1/2,tg∠MNP=-2。
建立适当的坐标系,求出以M、N为焦点,且过点P的椭圆方程。
解如图,以MN所在直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴建立坐标系,设以M、N为焦点,且过点P的椭圆方程为,焦点为M(-c,0)、N(c,0)。
由tg∠PMN=1/2,tg=(∠PMN)=2得直线PM和PN的方程分别为y=(x+c)和y=2(x-c),联立两方程解得x=,y=,即P点坐标为(,),故S⊿PMN=由条件SΔPMN=1得c=,即P点坐标为(),代入椭圆方程得,化简得3b4-8b2-3=0,解得b=,a2=b2+c2=3+=所以,所求方程为例11(1998年全国高考题)如图,直线l1和l2相交于点M,电Nl1,以A、B为端点的曲线段C上任意一点到l2的距离与到点N的距离相等,若⊿AMN为锐角三角形,=,=3,且=6,建立适当坐标系,求曲线段C的方程。
解如图,以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴建立坐标系,根据题意,曲线段C是以N为焦点,l2为准线的抛物线的一段。
设曲线C的方程为y2=2px(p>0),(xAXxB,y>0),其中xA,xB分别为A、B的横坐标,p=。
∴M(-p/2,0),N(p/2,0)。
由=,=3得(xA+p/2)2+2pxA=17┄①,(xA-p/2)2+2pxA=9┄②联立①②解得xA=p/4,代入①式并由p>0解得p=4,xA=1;或p=2,xA=2。
∵⊿AMN是锐角三角形,∴p/2>xA,故舍去p=2,xA=2。
由点P在曲线段C上,得xB=-P/2=4。
综上得曲线段C的方程为y2=8x(1≤x≤4,y>0)说明以上两例主要考查根据所给条件选择适当坐标系,(利用待定系数法)求曲线方程的解析几何的基本思想,考查椭圆与抛物线的概念和性质、曲线与方程的关系以及综合应用知识的能力。
6.小结求圆锥曲线的方程(含轨迹)是解析几何的基本内容,必须把握好各种方法在什么情况下使用,适当选择解法、适当选择坐标系、合理充分地利用数形条件建立等式关系是解决此类问题的基本功。
解题的主要规律可以概括为:
“曲线定义要记清,数形关系须探明,一定选好坐标系,方法合理过程畅。
选参、引参用好参,代入消元巧转换,待定系数为常法,列出等式是关键,理清关系思路开,一点破译全局活。”

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其它回答
北渡口

椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)设直线l与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2),中点N(x0,y0),求AB斜率和AB方程当你看到直线与圆锥曲线有两交点,并且告诉你中点或者斜率时,一般的方法,点差法。
x1^2/a^2+y1^2/b^2=1x2^2/a^2+y2^2/b^2=1两式相减(x1+x2)(x2-x1)/a^2+(y2+y1)(y2-y1)/b^2=0x1+x1=2x0,y1+y2=2y0kAB=(y2-y1)/(x2-x1)=-b^2*x0/(a^2*y0)AB方程y-y0=-b^2*x0/(a^2*y0)(x-x0)但是点差法有局限性,有时双曲线中不能用大题中常考查的是直线与圆锥曲线的关系,大题中常考查的是直线与圆锥曲线的关系,先联立方程,再消去一个未知数,再韦达定律,最后别忘记判别式。
即口诀:
“一联立,二消去,三韦达,四判别。
其实在这些大题中,有时又需要一些技巧,就拿最容易忘记的判别式来说吧,它可是解弦长公式的重要捷径!
设直线y=kx+m与某圆锥曲线交于A(x1,y1)B(x2,y2)则其斜率为k=(y1-y2)/(x1-x2)那么|AB|=根号(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=根号(1+k^2)*根号(x1-x2)2=根号(1+k^2)*|x1-x2|假设联立方程之后消去y得到的是ax^2+bx+c=0那么由根与系数的关系,得到x1,x2|x1-x2|=根号(b^2-4ac)\|a|所以弦长公式为:
|AB|=根号(1+k^2)*(根号(b^2-4ac))/|a|有很多老师一般不会告诉你这种方法,要你用|AB|=根号(1+k^2)*根号((x1+x2)^2-4x1x2)实际上你已经求了b^2-4ac>0,如果你还用上面的方法的话,你就算了两遍相同的式子,而有的参考书可能在写这些题目时也只给你一个答案或是前面写了一大堆的公式,其实讲白了,根本只是为了格式好看,才写那么多,答案却简简单单。
所以为了要节约时间,最好用此公式!
尤其是理科生!
有时消去x比消去y快很多,尤其是抛物线中用的多,但有时在椭圆,双曲线中有遇到过(x0,0)点的直线时可以考虑消x,设直线为x=my+x0,但如果不清楚这个m的性质是斜率的倒数的话,那么就很可能出错,所以建议你在平时训练中多去感悟感悟这种方法的话,再实验到考试中,是一个不错的选择!
对了,如果遇到三角形面积问题,用S三角形=弦长*点到直线的距离但是一般如果想更快一点的话,那就用两个三角形相减,得到的更快,但别忘了我才写在上面的|x1-x2|=根号(b^2-4ac)\|a|啊!
我还有一个比较好的经验,就是一般小题中,会碰到两个点在焦点上,另一个点在椭圆上,有时候你会联想到用焦点三角形面积,会比一般的方法简单并且快些,椭圆:
S三角形=b^2*tan(O/2),双曲线:
S三角形=b^2/tan(O/2)有时候用到参数方程,可能有的题目也会快很多,如果你有兴趣的话,甚至可以研究研究圆锥曲线的极坐标方程,有时碰到过焦点的直线问题,可以快很多,例如09年湖南理科数学那个13分的圆锥曲线,用那个方法可以避免分类讨论,而普通方法可能就有蛮难,分蛮多种情况讨论。
以上就是我的个人经验,但是如果你想得到更多的解题经验,必须多做题,多总结!
我希望你能够获得更多经验!
加油吧!

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红柚气泡酒

e=c/a=√3/2,则e²=c²/a²=3/4,b²/a²=1/4椭圆方程为:
x²/a²+y²/(a²/4)=1,因为A,B,M都在椭圆上,于是可设他们的坐标分别为:
A(acosα,(a/2)sinα),B(acosβ,(a/2)sinβ),M(acosγ,(a/2)sinγ))由:向量OM=(1/2)*向量OA+(二分之根号3)*向量OB得到:
(acosγ,(a/2)sinγ)=((a/2)cosα,(a/4)sinα)+((√3a/2)cosα,(√3a/4)sinα)有:
acosγ=(a/2)cosα+(√3a/2)cosα(a/2)sinβ=(a/4)sinα+(√3a/4)sinα化简:
cosγ=(1/2)cosα+(√3/2)cosα。
1sinγ=(1/2)sinα+(√3/2)sinα。
21式子²+2式子²得:
1=1/4+3/4+(√3/2)(cosαcosβ+sinαsinβ)=1+(√3/2)cos(α-β)所以:
cos(α-β)=0。
3又A(acosα,(a/2)sinα),B(acosβ,(a/2)sinβ)在直线y=x/2+1上,有:
(a/2)sinα=(a/2)cosα+1(a/2)sinβ=(a/2)cosβ+1得到:
a(sinα-cosα)=2。
4a(sinβ-cosβ)=2。
54式²+5式²得:
a²-2sinαcosα+a²-2sinβcosβ=42a²-(sin2α+sin2β)=4和差化积:
2a²-2sin(α+β)cos(α-β)=4。
6又由3式子cos(α-β)=0代入6式子有:
a²=2椭圆方程为:
x²/2+y²/(2/4)=1即:
x²+4y²-2=0

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空杯酒

1)根据正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=ka=ksinA,b=ksinB,c=ksinCsinB-sinC=3sinA/5b-c=3a/5|AC|-|AB|=3|BC|/5=6那么点A到C,B的距离差为一常数6所以点A的轨迹是以C,B为焦点的双曲线一支方程为x^2/9-y^2/16=1(x<0)2设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)x1+x2=2x,y1+y2=2yx1^2-y1^2/2=1x2^2-y2^2/2=1两个式子相减,得(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)/2=02x-y(y1-y2)/(x1-x2)=0y1-y2/x1-x2=y-1/x-2线段P1P2中点P的轨迹方程2x-y*(y-1)/(x-2)=02x(x-2)-y(y-1)=02x^2-4x-y^2+y=0

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十里桃花不如你

我也是高二的学生。
很明确的告诉你。
99%的选择都不是让你长篇幅计算的。
圆锥曲线其实不难,做选择的关键在于掌握技巧,圆锥曲线的简单技巧有很多,只要把他们背下来就会好做,例如焦半径,半通径,至于你说的两个圆锥曲线套在一起,我也做过很多种,这样的题基本是用2个方程联合解,关键在R1+R2=2A或R1-R2=2A把他们平方可以约下去R1R2的平方,就会发现你想要的结果,记得要摆脱局限,用一种独特的方法去解,哦对了,这些题用概念的很多,像你说的范围问题,可以想到范围一种可能是用△大于0或者小于0能出现大于小于号,另一种就是最最最常用的概念,也就是学的最基本的性质,比如双曲线一个过焦点的轴,他一定大于大于等于C,这样范围就出现了,别想的太难,一定要用概念,相信我,不会害你的,

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暖心话

2010届秋季福建省德化一中高三数学(文科)滚动测试13(函数、导数、三角、数列、平面向量、算法、不等式、圆锥曲线)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)1.已知集合,集合,则()A.B.C.D.2.记数列的前项和为,且,则()A.B.C.D.3.已知函数,则函数的零点个数为()A、1B、2C、3D、4

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心尚温

2010届秋季福建省德化一中高三数学(文科)滚动测试13(函数、导数、三角、数列、平面向量、算法、不等式、圆锥曲线)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合,集合,则()A.B.C.D.2.记数列的前项和为,且,则()A.B.C.D.3.已知函数,则函数的零点个数为()A、1B、2C、3D、4

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再见小朋友

太简单了,首先要熟第一第二定义。
1PF1>=C+A;PF2>=C-A2Xa>=A,Xa<=-A3在三角形里,斜边大于直角边,a+b>c4题中给定不等关系5daierta>0

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问灵十三载

P到Y轴的距离到点(1,0)的距离小1___________√(X-1)^2+Y^2-|X|=1X>=0(X-1)^2+Y^2=(X+1)^2化简得Y^2=4X(x≥0)

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